Соотношение Эйнштейна

В физике (главным образом в молекулярно кинетической теории) соотношением Эйнштейна (также называемое соотношением Эйнштейна — Смолуховского) называется выражение, связывающее подвижность молекулы (молекулярный параметр) с коэффициентом диффузии и температурой (макро параметры). Оно было независимо открыто Альбертом Эйнштейном в 1905 году и Марианом Смолуховским (1906) в ходе работ по изучению броуновского движения:

D = μ p k B T , {displaystyle D=mu _{p}k_{B}T,}

где D {displaystyle D} — коэффициент диффузии, μ p {displaystyle mu _{p}} — подвижность частиц, k B {displaystyle k_{B}} — постоянная Больцмана, а T {displaystyle T} — абсолютная температура.

Величина подвижности μ p {displaystyle mu _{p}} определяется из соотношения

μ p = V / F , {displaystyle mu _{p}=V/F,}

где V {displaystyle V} — стационарная скорость перемещения частицы в вязкой среде под действием силы F {displaystyle F} .

Это уравнение является частным следствием флуктуационно-диссипационной теоремы.

Формула Стокса — Эйнштейна

Величина подвижности не всегда легко определяется, поэтому если предположить, что числа Рейнольдса малы, то для силы сопротивления, испытываемой макроскопическим шариком (частицей), можно использовать формулу Стокса

F = 6 π η r V , {displaystyle F=6pi eta rV,}

где η {displaystyle eta } — вязкость жидкости, r {displaystyle r} — радиус частицы..

Следует заметить, что использование макроскопического приближения для описания молекулярных характеристик движения даёт лишь оценочные результаты. В практических приложениях иногда используют коэффициент 4 вместо 6. Часто также предполагают, что характерная для микроскопических движений вязкость ниже, чем вязкость, измеренная в макроскопических экспериментах. Тем не менее формула Стокса — Эйнштейна даёт верные по порядку величины оценки коэффициента диффузии.

Для величины коэффициента вращательной диффузии выражение выглядит следующим образом:

D r o t = k B T 8 π η r 3 . {displaystyle D_{mathrm {rot} }={frac {k_{B}T}{8pi eta r^{3}}}.}