Отображение тент

Отображение тент в теории динамических систем задаётся следующим образом: f μ = μ min { x , 1 − x } {displaystyle f_{mu }=mu min{x,1-x}}

Для значений μ ∈ [ 0 ; 2 ] {displaystyle mu in [0;2]} отображение тент переводит отрезок [ 0 ; 1 ] {displaystyle [0;1]} в себя, являясь динамической системой c дискретным временем. В частности, орбитой точки x 0 {displaystyle x_{0}} из интервала [ 0 ; 1 ] {displaystyle [0;1]} является последовательность x n {displaystyle x_{n}} :

x n + 1 = f μ ( x n ) = { μ x n f o r     x n < 1 2 μ ( 1 − x n ) f o r     1 2 ≤ x n {displaystyle x_{n+1}=f_{mu }(x_{n})={egin{cases}mu x_{n}&mathrm {for} ~~x_{n}<{frac {1}{2}}\mu (1-x_{n})&mathrm {for} ~~{frac {1}{2}}leq x_{n}end{cases}}}

Несмотря на то, что отображение тент является довольно простой нелинейной динамической системой, оно демонстрирует ряд свойств, характерных и для более сложных систем: существование периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям, т.е. хаотичность.

Свойства

• Если μ ∈ [ 0 ; 1 ) {displaystyle mu in [0;1)} , x = 0 {displaystyle x=0} является притягивающей неподвижной точкой: система будет стремиться к нулю с устремлением времени в бесконечность при любом исходном значении x {displaystyle x} из отрезка [ 0 ; 1 ] {displaystyle [0;1]} .
• Если μ = 1 {displaystyle mu =1} , все x ∈ [ 0 ; 0.5 ] {displaystyle xin [0;0.5]} — неподвижные точки, а x ∈ ( 0.5 ; 1 ] {displaystyle xin (0.5;1]} — предпериодические точки единичного периода (после одной итерации переходят в неподвижные).
• Если μ ∈ ( 1 ; 2 ] {displaystyle mu in (1;2]} , то отображение имеет две неподвижные точки: x = 0 {displaystyle x=0} и x = μ 1 − μ {displaystyle x={frac {mu }{1-mu }}} . Причем обе из них будут неустойчивыми, то есть значения x {displaystyle x} , лежащие в окрестностях неподвижных точек, будут отдаляться от них с последующими итерациями. Более того, для таких значений μ {displaystyle mu } , в интервале x ∈ [ μ − μ 2 / 2 ; μ / 2 ] {displaystyle xin [mu -{mu ^{2}}/2;{mu }/2]} содержатся и периодические, и непериодические точки.
• Если μ ∈ ( 1 ; 2 ] {displaystyle mu in (1;{sqrt {2}}]} , то система отображает множество интервалов из отрезка [ μ − μ 2 / 2 ; μ / 2 ] {displaystyle [mu -{mu ^{2}}/2;{mu }/2]} в себя, и их объединение является множеством Жюлиа отображения тент, т.е. множеством точек, чьи орбиты неустойчивы.
  • увеличение показывает, что при μ ≈ 1, множество Жюлиа состоит из нескольких интервалов. На диаграммах видно 4 и 8 интервалов при достаточном увеличении.

• Бифуркационная диаграмма отображения тент. Более высокая плотность соответствует более высокой вероятности, что переменная x примет данное значение для параметра μ {displaystyle mu }

• При увеличении вблизи острия видно 4 интервала

• При дальнейшем увеличении видно 8 интервалов

• Если μ ∈ ( 2 ; 2 ] {displaystyle mu in ({sqrt {2}};2]} , то интервалы из отрезка [ μ − μ 2 / 2 ; μ / 2 ] {displaystyle [mu -{mu ^{2}}/2;{mu }/2]} сходятся и множество Жюлиа — это весь интервал [ μ − μ 2 / 2 ; μ / 2 ] {displaystyle [mu -{mu ^{2}}/2;{mu }/2]} (см. бифуркационную диаграмму).

• Если μ = 2 {displaystyle mu =2} , то система переводит отрезок [0;1] в себя. В этом случае периодические точки плотны на отрезке, так что отображение демонстрирует хаотичность. Непериодическое поведение характерно только для иррациональных чисел, что может быть показано с помощью механизма, которым отображение действует на представленное в двоичной записи число: оно перемещает двоичную запятую вправо на один знак, а затем, если то, что оказалось слева от запятой — это единица, отбрасывает её и обращает все единицы в нули и наоборот (кроме последней единицы для чисел с конечной двоичной записью). Для иррационального числа, двоичная запись которого непериодична, это бесконечный процесс. Кроме того, стоит обратить внимание, что для μ = 2 {displaystyle mu =2} отображение тент топологически сопряжено логистическому отображению для r = 4 {displaystyle r=4} и полусопряжен μ = 2 {displaystyle mu =2} отображению удвоения, что указывает на сходство динамических свойств этих отображений. Действительно, пусть x n {displaystyle x_{n}} — орбита отображения тент при μ = 2 {displaystyle mu =2} , а y n {displaystyle y_{n}} — орбита логистического отображения для r = 4 {displaystyle r=4} , тогда они связаны соотношением: x n = 2 π sin − 1 ⁡ ( y n 1 / 2 ) . {displaystyle x_{n}={ frac {2}{pi }}sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).} .
• Если μ ∈ ( 2 ; + ∞ ) {displaystyle mu in (2;+infty )} , множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка [ 0 ; 1 ] {displaystyle [0;1]} стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для μ = 3 {displaystyle mu =3} — стандартное канторово множество.

Асимметричное отображение тент

Также объектом изучения теории динамических систем является асимметричное отображение тент f α : [ 0 ; 1 ] → [ 0 ; 1 ] , α ∈ ( 1 ; + ∞ ) {displaystyle f_{alpha }:[0;1] ightarrow [0;1],alpha in (1;+infty )} . Его можно считать расширением случая μ = 2 {displaystyle mu =2} стандартного отображения тент:

x n + 1 = f α ( x n ) = { α x n f o r     0 ≤ x n < 1 α α α − 1 ( 1 − x n ) f o r     1 α ≤ x n ≤ 1 {displaystyle x_{n+1}=f_{alpha }(x_{n})={egin{cases}alpha x_{n}&mathrm {for} ~~0leq x_{n}<{frac {1}{alpha }}\{frac {alpha }{alpha -1}}(1-x_{n})&mathrm {for} ~~{frac {1}{alpha }}leq x_{n}leq 1end{cases}}}

Асимметричное отображение тент сохраняет вид кусочно-линейной функции и может быть использовано для представления вещественных чисел из [ 0 ; 1 ] {displaystyle [0;1]} по аналогии с десятичной записью.