Стодвадцатиячейник

Правильный стодвадцатиячейник, или просто стодвадцатиячейник — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцать» и χώρος — «место, пространство»), гипердодекаэдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодекаэдр. Двойственен шестисотячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.

Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.

Описание

Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности 144 ∘ . {displaystyle 144^{circ }.}

Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

В координатах

Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

• координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел ( 0 ; 0 ; ± 2 ; ± 2 ) ; {displaystyle (0;0;pm 2;pm 2);}

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ( ± 1 ; ± 1 ; ± 1 ; ± 5 ) ; {displaystyle (pm 1;pm 1;pm 1;pm {sqrt {5}});}

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ( ± Φ − 2 ; ± Φ ; ± Φ ; ± Φ ) , {displaystyle (pm Phi ^{-2};pm Phi ;pm Phi ;pm Phi ),} где Φ = 1 + 5 2 {displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} — отношение золотого сечения;

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ( ± Φ − 1 ; ± Φ − 1 ; ± Φ − 1 ; ± Φ 2 ) ; {displaystyle (pm Phi ^{-1};pm Phi ^{-1};pm Phi ^{-1};pm Phi ^{2});}

• координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками ( 0 ; ± Φ − 2 ; ± 1 ; ± Φ 2 ) ; {displaystyle (0;pm Phi ^{-2};pm 1;pm Phi ^{2});}

• координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками ( 0 ; ± Φ − 1 ; ± Φ ; ± 5 ) ; {displaystyle (0;pm Phi ^{-1};pm Phi ;pm {sqrt {5}});}

• координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками ( ± Φ − 1 ; ± 1 ; ± Φ ; ± 2 ) . {displaystyle (pm Phi ^{-1};pm 1;pm Phi ;pm 2).}

Начало координат ( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) {displaystyle (0;0;0;0)} будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины a , {displaystyle a,} то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V 4 = 15 4 ( 105 + 47 5 ) a 4 ≈ 787,856 9810 a 4 , {displaystyle V_{4}={frac {15}{4}}left(105+47{sqrt {5}} ight)a^{4}approx 787{,}8569810a^{4},} S 3 = 30 ( 15 + 7 5 ) a 3 ≈ 919,574 2753 a 3 . {displaystyle S_{3}=30left(15+7{sqrt {5}} ight)a^{3}approx 919{,}5742753a^{3}.}

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R = 1 2 ( 10 + 3 2 ) a ≈ 3,702 4592 a , {displaystyle R={frac {1}{2}}left({sqrt {10}}+3{sqrt {2}} ight)aapprox 3{,}7024592a,}

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ 1 = 1 2 ( 15 + 2 3 ) a ≈ 3,668 5425 a , {displaystyle ho _{1}={frac {1}{2}}left({sqrt {15}}+2{sqrt {3}} ight)aapprox 3{,}6685425a,}

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

ρ 2 = 1 10 ( 65 + 29 5 ) a ≈ 3,603 4146 a , {displaystyle ho _{2}={sqrt {{frac {1}{10}}left(65+29{sqrt {5}} ight)}};aapprox 3{,}6034146a,}

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r = 1 4 ( 7 + 3 5 ) a ≈ 3,427 0510 a . {displaystyle r={frac {1}{4}}left(7+3{sqrt {5}} ight)aapprox 3{,}4270510a.}