Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




09.12.2022


09.12.2022


07.12.2022


02.12.2022


02.12.2022





Яндекс.Метрика

Коуравнитель

06.11.2022

Коуравнитель — теоретико-категорное обобщение понятия фактора по отношению эквивалентности. Это понятие двойственно к понятию уравнителя, отсюда и название.

Определение

Коуравнитель — это копредел диаграммы, состоящей из двух объектов — X и Y, и двух параллельных морфизмов f, g : XY.

Более явно, коуравнитель — это объект Q вместе с морфизмом q : YQ, таким что qf = qg. Более того, пара (Q, q) обладает универсальным свойством: для любой другой пары (Q′, q′) с тем же свойством существует единственный морфизм u : QQ′, замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Как и любые универсальные конструкции, коуравнитель, если существует, определен с точностью до изоморфизма. Можно показать, что коуравнитель q является эпиморфизмом в любой категории.

Примеры

  • В категории множеств коуравнитель двух функций f, g : XY — это фактор Y по наиболее слабому отношению эквивалентности ∼ {displaystyle sim } , такому что для любого x ∈ X {displaystyle xin X} , верно f ( x ) ∼ g ( x ) {displaystyle f(x)sim g(x)} .
  • В категории групп ситуация очень похожа: если f, g : XY — гомоморфизмы групп, их коуравнитель — это фактор Y по нормальному замыканию множества: S = { f ( x ) g ( x ) − 1   |   x ∈ X } {displaystyle S={f(x)g(x)^{-1} | xin X}} .
  • Для абелевых групп коуравнитель особенно прост. Это просто факторгруппа Y / im(fg) (коядро морфизма fg).
  • В категории топологических пространств окружность S 1 {displaystyle S^{1}} можно рассматривать как коуравнитель двух вложений стандартного 0-мерного симплекса в стандартный 1-мерный симплекс.
  • Коуравнители могут быть довольно большими: существует ровно два функтора из категории 1 с одним объектом и одним морфизмом, в категорию 2 с двумя объектами и ровно одним нетождественным морфизмом. Коуравнитель этих функторов — моноид натуральных чисел по сложению, рассматриваемый как категория из одного элемента. Это показывает, что хотя каждый коуравнитель эпиморфен, он не обязательно сюръективен.