ГлавнаяУравнения совместимости деформаций — математические уравнения, выражающие один из основополагающих принципов механики сплошных сред — принцип совместимости деформаций. Суть последнего состоит в том, что компоненты тензора деформации должны подчиняться уравнениям совместимости, так как, в противном случае, рассматриваемое тело не будет являться сплошной средой. Уравнения совместимости деформаций часто называют тождествами Сен-Венана.
Математическое выражение принципа
Математически ограничения накладываются на тензор деформации. В зависимости от ситуации могут использоваться тензоры деформации Коши — Грина
E i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i + ∑ l ∂ u l ∂ x i ∂ u l ∂ x j ) {displaystyle E_{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}+sum limits _{l}{frac {partial u_{l}}{partial x_{i}}}{frac {partial u_{l}}{partial x_{j}}} ight)} ,Тензор деформаций Альманзи — Гамеля
A i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i − ∑ l ∂ u l ∂ x i ∂ u l ∂ x j ) {displaystyle A_{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}-sum limits _{l}{frac {partial u_{l}}{partial x_{i}}}{frac {partial u_{l}}{partial x_{j}}} ight)} ,Либо тензор малых деформаций
ε i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) {displaystyle varepsilon _{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}} ight)} ,Три компоненты поля смещений связаны с 6 компонентами тензора деформаций. Для того, чтобы эта система уравнений имела решение, однозначные в замкнутой односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие уравнения
∇ × E × ∇ = 0 {displaystyle abla imes E imes abla =0} , ∇ × A × ∇ = 0 {displaystyle abla imes A imes abla =0} , ∇ × ε × ∇ = 0 {displaystyle abla imes varepsilon imes abla =0} ,