Главная
Свободным произведением групп называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо дополнительных соотношений.
Свободное произведение G 1 {displaystyle G_{1}} и G 2 {displaystyle G_{2}} обычно обозначается G 1 ∗ G 2 {displaystyle G_{1}*G_{2}} .
Определения
- Если группы заданы через порождающие и соотношения G 1 = ⟨ S 1 | R 1 ⟩ {displaystyle G_{1}=langle S_{1}|R_{1}
angle } , G 2 = ⟨ S 2 | R 2 ⟩ {displaystyle G_{2}=langle S_{2}|R_{2}
angle } то G 1 ∗ G 2 = ⟨ S 1 ∪ S 2 | R 1 ∪ R 2 ⟩ {displaystyle G_{1}*G_{2}=langle S_{1}cup S_{2}|R_{1}cup R_{2}
angle }
- Это определение также допускает естественное обобщение на случай свободного произведения любого числа групп.
- Свободное произведение G 1 ∗ G 2 {displaystyle G_{1}*G_{2}} можно также определить как расслоенное копроизведение G 1 ⨿ { e } G 2 {displaystyle G_{1}amalg _{{e}}G_{2}} для тривиальной группы { e } {displaystyle {e}} в категории групп.
Примеры
- Свободное произведение Z 2 ∗ Z 2 {displaystyle mathbb {Z} _{2}*mathbb {Z} _{2}} изоморфно бесконечной группе диэдра D ∞ {displaystyle D_{infty }} .
- Свободное произведение Z 2 ∗ Z 3 {displaystyle mathbb {Z} _{2}*mathbb {Z} _{3}} изоморфно проективной группе P S L ( 2 , Z ) {displaystyle PSL(2,mathbb {Z} )} .
- Свободное произведение n {displaystyle n} копий Z {displaystyle mathbb {Z} } — свободная группа с n {displaystyle n} образующими.
- Теорема Зейферта — ван Кампена в частности утверждает, что если X {displaystyle X} — топологическое пространство, и V , U ⊂ X {displaystyle V,Usubset X} — два связных открытых множества таких, что пересечение W = V ∩ U {displaystyle W=Vcap U} односвязно, и X = V ∪ U {displaystyle X=Vcup U} , то фундаментальная группа X {displaystyle X} есть свободное произведение фундаментальных групп V {displaystyle V} и U {displaystyle U} ; то есть π 1 X = π 1 V ∗ π 1 U . {displaystyle pi _{1}X=pi _{1}V*pi _{1}U.}