Неравенство

Неравенство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Строгие неравенства

a < b {displaystyle a<b} — означает, что a {displaystyle a} меньше, чем b . {displaystyle b.}
a > b {displaystyle a>b} — означает, что a {displaystyle a} больше, чем b . {displaystyle b.}

Неравенства a > b {displaystyle a>b} и b < a {displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки > {displaystyle >} и < {displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что < {displaystyle <} заменено на > {displaystyle >} или наоборот.

Нестрогие неравенства

a ⩽ b {displaystyle aleqslant b} — означает, что a {displaystyle a} меньше или равно b . {displaystyle b.}
a ⩾ b {displaystyle ageqslant b} — означает, что a {displaystyle a} больше или равно b . {displaystyle b.}

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ⩽ и ⩾ также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

a ≠ b {displaystyle a eq b} — означает, что a {displaystyle a} не равно b {displaystyle b} .
a ≫ b {displaystyle agg b} — означает, что величина a {displaystyle a} намного больше, чем b . {displaystyle b.}
a ≪ b {displaystyle all b} — означает, что величина a {displaystyle a} намного меньше, чем b . {displaystyle b.}

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

a < b < c {displaystyle a<b<c} — это краткая запись пары неравенств: a < b {displaystyle a<b} и b < c . {displaystyle b<c.}

Числовые неравенства

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных ( x , y , … ) . {displaystyle (x,y,dots ).} Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство 18 x < 414 {displaystyle 18x<414} — алгебраическое первой степени, неравенство 2 x 3 − 7 x + 6 > 0 {displaystyle 2x^{3}-7x+6>0} — алгебраическое третьей степени, неравенство 2 x > x + 4 {displaystyle 2^{x}>x+4} — трансцендентное.

Свойства

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений:

К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из a + b < c {displaystyle a+b<c} следует, что a < c − b . {displaystyle a<c-b.}
Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, a < b {displaystyle a<b} и c < d , {displaystyle c<d,} то a + c < b + d . {displaystyle a+c<b+d.} Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства

Транзитивность: если a < b {displaystyle a<b} и b < c , {displaystyle b<c,} то a < c {displaystyle a<c} и аналогично для прочих знаков.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

x 2 < 4 {displaystyle x^{2}<4} выполняется при − 2 < x < 2. {displaystyle -2<x<2.} x 2 > 4 {displaystyle x^{2}>4} выполняется, если x > 2 {displaystyle x>2} или x < − 2. {displaystyle x<-2.} x 2 < − 4 {displaystyle x^{2}<-4} не выполняется никогда (решений нет). x 2 > − 4 {displaystyle x^{2}>-4} выполняется при всех x {displaystyle x} (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство x > 3 {displaystyle x>3} возвести в квадрат: x 2 > 9 , {displaystyle x^{2}>9,} то появится ошибочное решение x < − 3 , {displaystyle x<-3,} не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени

Неравенство первой степени имеет общий формат: a x > b {displaystyle ax>b} или a x < b , {displaystyle ax<b,} где a ≠ 0 {displaystyle a eq 0} (работа со знаками ⩾ {displaystyle geqslant } и ⩽ {displaystyle leqslant } аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на a {displaystyle a} и, если a < 0 , {displaystyle a<0,} измените знак неравенства на противоположный. Пример:

5 x − 11 > 8 x + 1. {displaystyle 5x-11>8x+1.} Приведём подобные члены: − 3 x > 12 , {displaystyle -3x>12,} или x < − 4. {displaystyle x<-4.}

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы { 4 x − 3 > 5 x − 5 2 x + 4 < 8 x {displaystyle {egin{cases}4x-3>5x-52x+4<8xend{cases}}} получаем два решения: для первого неравенства x < 2 , {displaystyle x<2,} для второго: x > 2 3 . {displaystyle x>{2 over 3}.} Соединяя их, получаем ответ: 2 3 < x < 2. {displaystyle {2 over 3}<x<2.}

Пример 2. { 2 x − 3 > 3 x − 5 2 x + 4 > 8 x {displaystyle {egin{cases}2x-3>3x-52x+4>8xend{cases}}} Решения: x < 2 {displaystyle x<2} и x < 2 3 . {displaystyle x<{2 over 3}.} Второе решение поглощает первое, так что ответ: x < 2 3 . {displaystyle x<{2 over 3}.}

Пример 3. { 2 x − 3 < 3 x − 5 2 x + 4 > 8 x {displaystyle {egin{cases}2x-3<3x-52x+4>8xend{cases}}} Решения: x > 2 {displaystyle x>2} и x < 2 3 , {displaystyle x<{2 over 3},} они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

x 2 + p x + q > 0 {displaystyle x^{2}+px+q>0} или x 2 + p x + q < 0. {displaystyle x^{2}+px+q<0.}

Если квадратное уравнение x 2 + p x + q = 0 {displaystyle x^{2}+px+q=0} имеет вещественные корни x 1 , x 2 , {displaystyle x_{1},x_{2},} то неравенство можно привести к виду соответственно:

( x − x 1 ) ( x − x 2 ) > 0 {displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0} или ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) < 0. {displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}

В первом случае x − x 1 {displaystyle x-x_{1}} и x − x 2 {displaystyle x-x_{2}} должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило.

Если оказалось, что у уравнения x 2 + p x + q = 0 {displaystyle x^{2}+px+q=0} вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех x . {displaystyle x.} Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры).

Пример 1. − 2 x 2 + 14 x − 20 > 0. {displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.} Разделив на − 2 , {displaystyle -2,} приведём неравенство к виду: x 2 − 7 x + 10 < 0. {displaystyle x^{2}-7x+10<0.} Решив квадратное уравнение x 2 − 7 x + 10 = 0 , {displaystyle x^{2}-7x+10=0,} получаем корни x 1 = 2 ; x 2 = 5 , {displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,} поэтому исходное неравенство равносильно такому: ( x − 2 ) ( x − 5 ) < 0. {displaystyle (x-2)(x-5)<0.} Согласно приведенному выше правилу, 2 < x < 5 , {displaystyle 2<x<5,} что и является ответом.

Пример 2. − 2 x 2 + 14 x − 20 < 0. {displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.} Аналогично получаем, что x − 2 {displaystyle x-2} и x − 5 {displaystyle x-5} имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, x < 2 , {displaystyle x<2,} или x > 5. {displaystyle x>5.}

Пример 3. x 2 + 6 x + 15 > 0. {displaystyle x^{2}+6x+15>0.} Уравнение x 2 + 6 x + 15 = 0 {displaystyle x^{2}+6x+15=0} не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех x . {displaystyle x.} При x = 0 {displaystyle x=0} левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех x {displaystyle x} ).

Пример 4. x 2 + 6 x + 15 < 0. {displaystyle x^{2}+6x+15<0.} Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах.

Прочие неравенства

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы.

a + 1 a ⩾ 2 , {displaystyle a+{1 over a}geqslant 2,} где a > 0. {displaystyle a>0.} Равенство имеет место только при a = 1. {displaystyle a=1.}
a b ⩽ a + b 2 , {displaystyle {sqrt {ab}}leqslant {a+b over 2},} где a , b > 0. {displaystyle a,b>0.} Смысл: среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднее арифметическое. Равенство имеет место только при a = b . {displaystyle a=b.}
Неравенство о средних
Неравенство Бернулли:

( 1 + x ) n ⩾ 1 + n x , {displaystyle (1+x)^{n}geqslant 1+nx,} где x ⩾ − 1 , n {displaystyle xgeqslant -1,n} — положительное число, большее 1.

Неравенство Коши — Буняковского.
Неравенство Йенсена
Неравенство треугольника:

| a + b | ⩽ | a | + | b | {displaystyle |a+b|leqslant |a|+|b|} См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.