Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер

















Яндекс.Метрика

Теорема Эйлера о четырёхугольниках

Теорема Эйлера о четырёхугольниках (также закон Эйлера для четырёхугольников) — теорема планиметрии, названная в честь Леонарда Эйлера (1707—1783 г.), описывает связь между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями. Теорема является обобщением тождества параллелограмма, которое, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора и такая формулировка в терминах четырёхугольников порой называется теоремой Эйлера — Пифагора.

Теорема и специальные случаи

Для выпуклого четырёхугольника со сторонами a , b , c , d {displaystyle a,b,c,d} диагонали e {displaystyle e} и f {displaystyle f} , вместе с отрезком g {displaystyle g} , соединяющим середины диагоналей, выполняется равенство:

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 + 4 g 2 {displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}

Если четырёхугольник является параллелограммом, то средние точки диагоналей совпадают, так что соединяющий их отрезок g {displaystyle g} имеет длину 0. Кроме того, длины параллельных сторон равны, так что теорема Эйлера сводится к:

2 a 2 + 2 b 2 = e 2 + f 2 {displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}

что является тождеством параллелограмма.

Если четырёхугольник является прямоугольником, то равенство упрощается, поскольку теперь две диагонали равны:

2 a 2 + 2 b 2 = 2 e 2 {displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}

Деление на 2 даёт теорему Эйлера – Пифагора:

a 2 + b 2 = e 2 {displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}

Другими словами, в случае прямоугольника, отношение сторон четырёхугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора.

Альтернативные формулировки и расширения

Эйлер вывел теорему выше как следствие слегка другой теоремы, которая, с одной стороны, менее элегантна, так как требует добавления ещё одной точки, но, с другой стороны, даёт большее понимание структуры.

Для заданного выпуклого четырёхугольника A B C D {displaystyle ABCD} , Эйлер ввёл дополнительную точку E {displaystyle E} , такую, что A B E D {displaystyle ABED} образует параллелограмм, тогда выполняется следующее равенство:

| A B | 2 + | B C | 2 + | C D | 2 + | A D | 2 = | A C | 2 + | B D | 2 + | C E | 2 {displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}

Расстояние | C E | {displaystyle |CE|} между двумя дополнительными точками E {displaystyle E} и C {displaystyle C} четырёхугольника, которые не являются частью параллелограмма, можно рассматривать как меру, насколько четырёхугольник отличается от параллелограмма, и | C E | 2 {displaystyle |CE|^{2}} является правильным членом, который нужно добавить в исходное равенство тождества параллелограмма.

M {displaystyle M} , будучи серединой A C {displaystyle AC} , приводит к | A C | | A M | = 2 {displaystyle { frac {|AC|}{|AM|}}=2} . Поскольку N {displaystyle N} является серединой отрезка B D {displaystyle BD} , она будет также серединой A E {displaystyle AE} , так как A E {displaystyle AE} и B D {displaystyle BD} являются диагоналями параллелограмма A B E D {displaystyle ABED} . Отсюда получаем | A E | | A N | = 2 {displaystyle { frac {|AE|}{|AN|}}=2} , а следовательно, | A C | | A M | = | A E | | A N | {displaystyle { frac {|AC|}{|AM|}}={ frac {|AE|}{|AN|}}} . Поэтому, из теоремы Фалеса (и её обратной) следует, что C E {displaystyle CE} и N M {displaystyle NM} параллельны и | C E | 2 = ( 2 | N M | ) 2 = 4 | N M | 2 {displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}} , откуда следует теорема Эйлера.

Теорему Эйлера можно расширить на большее множество четырёхугольников, которые включают пересекающиеся и непланарные. Она выполняется для так называемых обобщённых четырёхугольников, которые состоят из четырёх произвольных точек в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , связанных рёбрами с образованием графа-цикла.