Теорема Жордана

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.

Формулировка

Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая γ {displaystyle gamma } разбивает плоскость R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} на две связные компоненты и является их общей границей.

Замечания

Из двух связных компонент одна B {displaystyle B} (внутренность γ {displaystyle gamma } ) — ограниченная; характеризуется тем, что степень γ {displaystyle gamma } относительно любой точки в B {displaystyle B} равна ± 1 {displaystyle pm 1} ; другая S {displaystyle S} (внешность γ {displaystyle gamma } ) — неограниченная, и степень γ {displaystyle gamma } относительно любой точки в S {displaystyle S} равна нулю. По теореме Шёнфлиса, первая всегда гомеоморфна диску.

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Часто утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году. Однако Томас Хейлс пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае, когда замкнутая кривая является многоугольником.

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт.
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем.

Вариации и обобщения

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое ( n − 1 ) {displaystyle (n-1)} -мерное подмногообразие в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. При n = 3 {displaystyle n=3} это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего n {displaystyle n} -мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.

• Более того, любое компактное связное ( n − 1 ) {displaystyle (n-1)} -мерное подмногообразие в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
  • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.