ГлавнаяМатрица Лемера — симметричная матрица L n {displaystyle L^{n}} , определяемая для каждого n > 1 {displaystyle n>1} как:
L i j n = min ( i , j ) max ( i , j ) {displaystyle L_{ij}^{n}={frac {{mbox{min}}(i,j)}{{mbox{max}}(i,j)}}} .Названа в честь Деррика Лемера.
Каждая из матриц Лемера L n {displaystyle L^{n}} является подматрицей L n + m {displaystyle L^{n+m}} (то есть L i j n + 1 = L i j n {displaystyle L_{ij}^{n+1}=L_{ij}^{n}} для всех i , j ⩽ n {displaystyle i,jleqslant n} ). Значения элементов уменьшаются по мере удаления от главной диагонали; поскольку все элементы главной диагонали равны 1, то след L n {displaystyle L^{n}} равен n {displaystyle n} .
Обратная к матрице Лемера матрица является трёхдиагональной, где наддиагональ и поддиагональ имеют строго отрицательные элементы. Подматрица размерности n × n {displaystyle n imes n} обратной к матрице Лемера L n + m {displaystyle L^{n+m}} совпадает с обратной к матрице L n {displaystyle L^{n}} за исключением элемента с индексом ( n , n ) {displaystyle (n,n)} .
Матрицы Лемера размеров 2×2, 3×3 и 4×4 и обратные к ним:
A 2 = ( 1 1 / 2 1 / 2 1 ) A 2 − 1 = ( 4 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3 4 / 3 ) A 3 = ( 1 1 / 2 1 / 3 1 / 2 1 2 / 3 1 / 3 2 / 3 1 ) A 3 − 1 = ( 4 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3 32 / 15 − 6 / 5 − 6 / 5 9 / 5 ) A 4 = ( 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 1 / 2 1 2 / 3 1 / 2 1 / 3 2 / 3 1 3 / 4 1 / 4 1 / 2 3 / 4 1 ) A 4 − 1 = ( 4 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3 32 / 15 − 6 / 5 − 6 / 5 108 / 35 − 12 / 7 − 12 / 7 16 / 7 ) {displaystyle {egin{array}{lllll}A_{2}={egin{pmatrix}1&1/21/2&1end{pmatrix}}&A_{2}^{-1}={egin{pmatrix}4/3&-2/3-2/3&{color {BrickRed}mathbf {4/3} }end{pmatrix}}\A_{3}={egin{pmatrix}1&1/2&1/31/2&1&2/31/3&2/3&1end{pmatrix}}&A_{3}^{-1}={egin{pmatrix}4/3&-2/3&-2/3&32/15&-6/5&-6/5&{color {BrickRed}mathbf {9/5} }end{pmatrix}}\A_{4}={egin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/41/2&1&2/3&1/21/3&2/3&1&3/41/4&1/2&3/4&1end{pmatrix}}&A_{4}^{-1}={egin{pmatrix}4/3&-2/3&&-2/3&32/15&-6/5&&-6/5&108/35&-12/7&&-12/7&{color {BrickRed}mathbf {16/7} }end{pmatrix}}end{array}}}