Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




30.06.2022


26.06.2022


26.06.2022


25.06.2022


24.06.2022





Яндекс.Метрика

Сферический сегмент

15.01.2022

.

Сферический сегмент — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, так что высота обоих сегментов равна радиусу сферы, то каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Шаровой сегмент — геометрическое тело, ограниченное сферическим сегментом и совпадающим с ним границей кругом-основанием.

Объём и площадь поверхности

Если радиус основания сегмента равен a {displaystyle a} , высота сегмента равна h {displaystyle h} , тогда объём шарового сегмента равен

V = π h 6 ( 3 a 2 + h 2 ) {displaystyle V={frac {pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2})} ,

площадь поверхности сегмента равна

A = 2 π r h {displaystyle A=2pi rh}

или

A = 2 π r 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) {displaystyle A=2pi r^{2}(1-cos heta )} .

Параметры a {displaystyle a} , h {displaystyle h} и r {displaystyle r} связаны соотношениями

r 2 = ( r − h ) 2 + a 2 = r 2 + h 2 − 2 r h + a 2 {displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}} , r = a 2 + h 2 2 h {displaystyle r={frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}} .

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

A = 2 π ( a 2 + h 2 ) 2 h h = π ( a 2 + h 2 ) {displaystyle A=2pi {frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=pi (a^{2}+h^{2})} .

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) h = r − r 2 − a 2 {displaystyle h=r-{sqrt {r^{2}-a^{2}}}} , в нижней части сферы h = r + r 2 − a 2 {displaystyle h=r+{sqrt {r^{2}-a^{2}}}} , следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение a = h ( 2 r − h ) {displaystyle a={sqrt {h(2r-h)}}} и можно привести другое выражение для объёма:

V = π h 2 3 ( 3 r − h ) {displaystyle V={frac {pi h^{2}}{3}}(3r-h)} .

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

V = ∫ x r π ( r 2 − x 2 ) d x = π ( 2 3 r 3 − r 2 x + 1 3 x 3 ) = π 3 r 3 ( cos ⁡ ( θ ) + 2 ) ( cos ⁡ ( θ ) − 1 ) 2 {displaystyle V=int _{x}^{r}pi left(r^{2}-x^{2} ight)dx=pi left({frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{frac {1}{3}}x^{3} ight)={frac {pi }{3}}r^{3}(cos( heta )+2)(cos( heta )-1)^{2}} .

Применение

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер

Объём объединения двух сфер радиусов r1 и r2 равен

V = V ( 1 ) − V ( 2 ) {displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}} ,

где

V ( 1 ) = 4 π 3 r 1 3 + 4 π 3 r 2 3 {displaystyle V^{(1)}={frac {4pi }{3}}r_{1}^{3}+{frac {4pi }{3}}r_{2}^{3}}

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

V ( 2 ) = π h 1 2 3 ( 3 r 1 − h 1 ) + π h 2 2 3 ( 3 r 2 − h 2 ) {displaystyle V^{(2)}={frac {pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{frac {pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r1 + r2 — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h1 и h2 приводит к выражению

V ( 2 ) = π 12 d ( r 1 + r 2 − d ) 2 ( d 2 + 2 d ( r 1 + r 2 ) − 3 ( r 1 − r 2 ) 2 ) {displaystyle V^{(2)}={frac {pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2} ight)} .

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ1 и φ2 данная площадь равна

A = 2 π r 2 | sin ⁡ ϕ 1 − sin ⁡ ϕ 2 | {displaystyle A=2pi r^{2}|sin phi _{1}-sin phi _{2}|} .

Площадь квадратного участка поверхности шара

A = 8 r 2 ( 1 − cos ⁡ ( θ / 2 ) ) {displaystyle A=8r^{2}(1-cos( heta /2))} .

Например, площадь участка поверхности Земли со сторонами равными 1 градусу: A = 8 * (6 378 км) 2 {displaystyle ^{2}} (1-cos(0,5))= 12391 км 2 {displaystyle ^{2}} , 1 квадратная секунда поверхности Земли = 12391 км 2 {displaystyle ^{2}} / (60 * 60) 2 {displaystyle ^{2}} = 956м 2 {displaystyle ^{2}}

Обобщения

Сечения других тел

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферы

Объём n {displaystyle n} -мерного сегмента гиперсферы высотой h {displaystyle h} и радиуса r {displaystyle r} в n {displaystyle n} -мерном евклидовом пространстве определяется по формуле

V = π n − 1 2 r n Γ ( n + 1 2 ) ∫ 0 arccos ⁡ ( r − h r ) sin n ⁡ ( t ) d t {displaystyle V={frac {pi ^{frac {n-1}{2}},r^{n}}{,Gamma left({frac {n+1}{2}} ight)}}int limits _{0}^{arccos left({frac {r-h}{r}} ight)}sin ^{n}(t),mathrm {d} t}

где Γ {displaystyle Gamma } (гамма-функция) задается выражением Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {displaystyle Gamma (z)=int _{0}^{infty }t^{z-1}mathrm {e} ^{-t},mathrm {d} t} .

Выражение для объёма V {displaystyle V} можно переписать в терминах объёма единичного n {displaystyle n} -мерного шара C n = π n / 2 / Γ [ 1 + n 2 ] {displaystyle C_{n}={pi ^{n/2}/Gamma [1+{frac {n}{2}}]}} и гипергеометрической функции 2 F 1 {displaystyle {}_{2}F_{1}} или регуляризованной неполной бета-функции I x ( a , b ) {displaystyle I_{x}(a,b)} как

V = C n r n ( 1 2 − r − h r Γ [ 1 + n 2 ] π Γ [ n + 1 2 ] 2 F 1 ( 1 2 , 1 − n 2 ; 3 2 ; ( r − h r ) 2 ) ) = 1 2 C n r n I ( 2 r h − h 2 ) / r 2 ( n + 1 2 , 1 2 ) {displaystyle V=C_{n},r^{n}left({frac {1}{2}},-,{frac {r-h}{r}},{frac {Gamma [1+{frac {n}{2}}]}{{sqrt {pi }},Gamma [{frac {n+1}{2}}]}}{,,}_{2}F_{1}left({ frac {1}{2}},{ frac {1-n}{2}};{ frac {3}{2}};left({ frac {r-h}{r}} ight)^{2} ight) ight)={frac {1}{2}}C_{n},r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}left({frac {n+1}{2}},{frac {1}{2}} ight)} .

Формула для площади поверхности A {displaystyle A} может быть записана в терминах площади поверхности единичного n {displaystyle n} -мерного шара A n = 2 π n / 2 / Γ [ n 2 ] {displaystyle A_{n}={2pi ^{n/2}/Gamma [{frac {n}{2}}]}} как

A = 1 2 A n r n − 1 I ( 2 r h − h 2 ) / r 2 ( n − 1 2 , 1 2 ) {displaystyle A={frac {1}{2}}A_{n},r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}left({frac {n-1}{2}},{frac {1}{2}} ight)} ,

где 0 ≤ h ≤ r {displaystyle 0leq hleq r} .

Также справедливы следующие формулы: A = A n p n − 2 ( q ) , V = V n p n ( q ) {displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=V_{n}p_{n}(q)} , где q = 1 − h / r ( 0 ≤ q ≤ 1 ) , p n ( q ) = ( 1 − G n ( q ) / G n ( 1 ) ) / 2 {displaystyle q=1-h/r(0leq qleq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2} ,

G n ( q ) = ∫ 0 q ( 1 − t 2 ) ( n − 1 ) / 2 d t {displaystyle G_{n}(q)=int limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt} .

При n = 2 k + 1 : {displaystyle n=2k+1:}

G n ( q ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k i ) q 2 i + 1 2 i + 1 {displaystyle G_{n}(q)=sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{inom {k}{i}}{frac {q^{2i+1}}{2i+1}}} .

Было показано, что при n → ∞ {displaystyle n o infty } и q n = const  {displaystyle q{sqrt {n}}={ ext{const }}} p n ( q ) → 1 − F ( q n ) {displaystyle p_{n}(q) o 1-F({q{sqrt {n}}})} , где F ( ) {displaystyle F()} — стандартное нормальное распределение.