Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




02.07.2022


02.07.2022


02.07.2022


01.07.2022


01.07.2022





Яндекс.Метрика

Квантовая статистическая механика

25.12.2021

Квантовая статистическая механика – статистическая механика, применяемая к квантовомеханическим системам. Для перехода от классической статистической механики к квантовой предположение классической статистической механики о том, что все допустимые области фазового пространства можно считать равновероятными, заменяется предположением, что все допустимые состояния имеют равные вероятности. Математически это означает, что все интегралы по фазовому пространству заменяются суммами по всем собственным состояниям квантовой системы.

Постулаты квантовой статистической механики

Обозначим через ∣ Ψ i {displaystyle mid Psi {mathcal {i}}} вектор гильбертова пространства, описывающий состояние произвольной полностью изолированной квантовомеханической системы. Пусть число частиц в системе равно N {displaystyle N} , объём системы равен V {displaystyle V} , значение энергии системы находится между E {displaystyle E} и E + Δ {displaystyle E+Delta } ( Δ ≪ E {displaystyle Delta ll E} ), H {displaystyle H} - гамильтониан системы. Обозначим f Φ n g {displaystyle {mathcal {f}}Phi _{n}{mathcal {g}}} полную ортонормированную систему волновых функций, в которой каждая функция Φ n {displaystyle Phi _{n}} есть волновая функция N {displaystyle N} частиц, находящихся в объёме V {displaystyle V} и является собственной функцией оператора Гамильтона H {displaystyle H} , соответствующей собственному значению E n {displaystyle E_{n}} : H Φ n = E n Φ n {displaystyle HPhi _{n}=E_{n}Phi _{n}} . В любой момент времени волновая функция Ψ {displaystyle Psi } полностью изолированной системы может быть представлена как линейная суперпозиция стационарных волновых функций f Φ n g {displaystyle {mathcal {f}}Phi _{n}{mathcal {g}}} : Ψ = ∑ n c n Φ n {displaystyle Psi =sum _{n}c_{n}Phi _{n}} , где c n {displaystyle c_{n}} - комплексные числа.

Постулат равной априорной вероятности

( c n , c n ) ¯ = { 1 , (E < E n < E + Δ ) 0 , in other cases {displaystyle {overline {(c_{n},c_{n})}}={egin{cases}1,&{mbox{(E}}<E_{n}<E+Delta ),&{mbox{in other cases}}end{cases}}}

Постулат случайных фаз

( c n , c m ) ¯ = 0 ( n ≠ m ) {displaystyle {ar {(c_{n},c_{m})}}=0(n eq m)}

Измеряемая величина

Опираясь на постулаты, можно представить волновую функцию системы в виде: Ψ = ∑ n b n Φ n {displaystyle Psi =sum _{n}b_{n}Phi _{n}} , где | b n | 2 = { 1 , (E < E n < E + Δ ) 0 , in other cases {displaystyle |b_{n}|^{2}={egin{cases}1,&{mbox{(E}}<E_{n}<E+Delta ),&{mbox{in other cases}}end{cases}}} где фазы комплексных чисел f b n g {displaystyle {mathcal {f}}b_{n}{mathcal {g}}} являются случайными величинами. Измеряемая величина, соответствующая оператору X {displaystyle X} , даётся формулой: ⟨ X ⟩ = ∑ n | b n | 2 ( Φ n , X Φ n ) ∑ n | b n | 2 {displaystyle langle X angle ={frac {sum _{n}|b_{n}|^{2}(Phi _{n},XPhi _{n})}{sum _{n}|b_{n}|^{2}}}} .