Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




22.10.2021


22.10.2021


21.10.2021


21.10.2021


21.10.2021





Яндекс.Метрика

Теорема Хопфа — Ринова

05.09.2021

Теорема Хопфа — Ринова — теорема дифференциальной геометрии, доказанная Хайнцем Хопфом и его учеником Вилли Риновым. Опубликована последним в 1931 году.

Формулировка

Для линейно связного риманова многообразия M {displaystyle M} следующие утверждения эквивалентны:

  • M {displaystyle M} ― полно (то есть риманово многообразие полно как метрическое пространство);
  • для каждой точки p ∈ M {displaystyle pin M} экспоненциальное отображение exp p : T p → M {displaystyle exp _{p}:T_{p} o M} определено на всем T p {displaystyle T_{p}} (где T p {displaystyle T_{p}} ― касательное пространство к M {displaystyle M} в точке p {displaystyle p} );
  • каждое множество, ограниченное и замкнутое в M {displaystyle M} , компактно.

Следствия

  • Любые две точки p {displaystyle p} и q {displaystyle q} в линейно связном полном римановом многообразии можно соединить геодезической длины равной расстоянию между p {displaystyle p} и q {displaystyle q} ;
  • Любая геодезическая в линейно связном полном римановом многообразии продолжается неограниченно.

Вариации и обобщения

  • Теорема Хопфа — Ринова верна для пространств с внутренней метрикой, не обязательно римановой (например, финслеровой): если ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любое замкнутое ограниченное множество в ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} компактно. В частности любые две точки пространства X {displaystyle X} можно соединить кратчайшей.
    • Это утверждение было обобщено на случай несимметричных метрик.
  • Теорема Хопфа — Ринова не верна в бесконечномерном случае, а также в случае псевдоримановых многообразий.