Факторалгебра — понятие в общей алгебре, определяемое следующим образом.
Пусть A {displaystyle mathrm {A} } — алгебра над полем K {displaystyle mathrm {K} } и J {displaystyle mathrm {J} } — двусторонний идеал в алгебре A {displaystyle mathrm {A} } . Рассматривая алгебру A {displaystyle mathrm {A} } как кольцо, определим факторкольцо A / J {displaystyle mathrm {A} /mathrm {J} } , которое можно превратить в алгебру над K {displaystyle mathrm {K} } , если определить в ней умножение на элементы поля K {displaystyle mathrm {K} } по следующему правилу:
k ( a + J ) = k a + J , ∀ k ∈ K , ∀ a ∈ A {displaystyle k(a+mathrm {J} )=ka+mathrm {J} ,quad forall kin mathrm {K} , forall ain mathrm {A} } .
Построенная таким образом алгебра A / J {displaystyle mathrm {A} /mathrm {J} } называется факторалгеброй алгебры A {displaystyle mathrm {A} } по идеалу J {displaystyle mathrm {J} } .
Пример
Важный пример факторалгебры (в алгебре формальных степенных рядов от нескольких переменных) связан с определением кратности критической точки гладкой функции.
Связанные определения
Каноническим гомоморфизмом для алгебры A {displaystyle mathrm {A} } , связанным с данным идеалом J {displaystyle mathrm {J} } , для которого определена факторалгебра A / J {displaystyle mathrm {A} /mathrm {J} } , называется гомоморфизм A → A / J {displaystyle mathrm {A} o mathrm {A} /mathrm {J} } с ядром J {displaystyle mathrm {J} } , определённый формулой a ↦ a + J , ∀ a ∈ A {displaystyle amapsto a+mathrm {J} , ,forall ain mathrm {A} } .