Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




28.07.2021


27.07.2021


27.07.2021


26.07.2021


25.07.2021





Яндекс.Метрика

Логарифмическое распределение

25.04.2021

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины Y {displaystyle Y} задаётся функцией вероятности:

p Y ( k ) ≡ P ( Y = k ) = − 1 ln ⁡ ( 1 − p ) p k k , k = 1 , 2 , 3 , … {displaystyle p_{Y}(k)equiv mathbb {P} (Y=k)=-{frac {1}{ln(1-p)}}{frac {p^{k}}{k}},;k=1,2,3,ldots } ,

где 0 < p < 1 {displaystyle 0<p<1} . Тогда говорят, что Y {displaystyle Y} имеет логарифмическое распределение с параметром p {displaystyle p} . Пишут: Y ∼ L o g ( p ) {displaystyle Ysim mathrm {Log} (p)} .

Функция распределения случайной величины Y {displaystyle Y} кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

F Y ( y ) = { 0 , y < 1 1 + B p ( k + 1 , 0 ) ln ⁡ ( 1 − p ) , y ∈ [ k , k + 1 ) , k = 1 , 2 , 3 , … , {displaystyle F_{Y}(y)=left{{egin{matrix}0,&y<1&1+{frac {mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{ln(1-p)}},;&yin [k,k+1),;&k=1,2,3,ldots end{matrix}} ight.,}

где B p {displaystyle mathrm {B} _{p}} — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция p Y ( k ) {displaystyle p_{Y}(k)} действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

ln ⁡ ( 1 − p ) = − ∑ k = 1 ∞ p k k ; 0 < p < 1 {displaystyle ln(1-p)=-sum limits _{k=1}^{infty }{frac {p^{k}}{k}};0<p<1} ,

откуда

∑ k = 1 ∞ p Y ( k ) = 1 {displaystyle sum limits _{k=1}^{infty }p_{Y}(k)=1} .

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины Y ∼ L o g ( p ) {displaystyle Ysim mathrm {Log} (p)} задаётся формулой

M Y ( t ) = ln ⁡ [ 1 − p e t ] ln ⁡ [ 1 − p ] {displaystyle M_{Y}(t)={frac {ln left[1-pe^{t} ight]}{ln[1-p]}}} ,

откуда

E [ Y ] = − 1 ln ⁡ ( 1 − p ) p 1 − p {displaystyle mathbb {E} [Y]=-{frac {1}{ln(1-p)}}{frac {p}{1-p}}} , D [ Y ] = − p p + ln ⁡ ( 1 − p ) ( 1 − p ) 2 ln 2 ⁡ ( 1 − p ) {displaystyle mathrm {D} [Y]=-p;{frac {p+ln(1-p)}{(1-p)^{2},ln ^{2}(1-p)}}} .

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть { X i } i = 1 n {displaystyle {X_{i}}_{i=1}^{n}} последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что X i ∼ L o g ( p ) , i = 1 , 2 , … {displaystyle X_{i}sim mathrm {Log} (p),;i=1,2,ldots } . Пусть N ∼ P ( λ ) {displaystyle Nsim mathrm {P} (lambda )} — Пуассоновская случайная величина. Тогда

Y = ∑ i = 1 N X i ∼ N B {displaystyle Y=sum limits _{i=1}^{N}X_{i}sim mathrm {NB} } .

Приложения

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе.