Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




21.10.2021


21.10.2021


21.10.2021


17.10.2021


17.10.2021





Яндекс.Метрика

Теорема Гуревича

09.03.2021

Теорема Гуревича — фундаментальный результат алгебраической топологии, связывающей гомотопическую теорию с теорией гомологии с помощью отображения, известного как гомоморфизм Гуревича.

Теорема названа в честь Витольда Гуревича; она обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре.

Формулировка

Пусть X {displaystyle X} — линейно связное топологическое пространство и n {displaystyle n} — целое положительное число. Гомоморфизм Гуревича:

h ∗ : π n ( X ) → H n ( X ) {displaystyle h_{*}colon pi _{n}(X) o H_{n}(X)}

определяется следующим образом: если u n {displaystyle u_{n}} — образующая H n ( S n ) {displaystyle H_{n}(S^{n})} , то гомотопический класс отображения f ∈ π n ( X ) {displaystyle fin pi _{n}(X)} отображается в f ∗ ( u n ) ∈ H n ( X ) {displaystyle f_{*}(u_{n})in H_{n}(X)} .

При n = 1 {displaystyle n=1} этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм:

h ~ ∗ : π 1 ( X ) / [ π 1 ( X ) , π 1 ( X ) ] → H 1 ( X ) {displaystyle { ilde {h}}_{*}colon pi _{1}(X)/[pi _{1}(X),pi _{1}(X)] o H_{1}(X)}

между абеленизацией фундаментальной группы и первой гомологической группой.

Если n ⩾ 2 {displaystyle ngeqslant 2} и X {displaystyle X} — ( n − 1 ) {displaystyle (n-1)} -связно, то гомоморфизм Гуревича h ∗ : π n ( X ) → H n ( X ) {displaystyle h_{*}colon pi _{n}(X) o H_{n}(X)} является изоморфизмом. Более того, h ∗ : π n + 1 ( X ) → H n + 1 ( X ) {displaystyle h_{*}colon pi _{n+1}(X) o H_{n+1}(X)} является эпиморфизмом.