ГлавнаяПроективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат [ x 1 : x 2 ] {displaystyle [x_{1}:x_{2}]} . Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.
Примеры
Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности R P 1 ≅ S 1 {displaystyle mathbb {R} P^{1}cong S^{1}} . Комплексная проективная прямая C P 1 {displaystyle mathbb {C} P^{1}} — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере S 2 {displaystyle S^{2}} . Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, H P 1 ≅ S 4 {displaystyle mathbb {H} P^{1}cong S^{4}} .
Действие групп на проективной прямой
Для групп G L 2 ( k ) , S L 2 ( k ) {displaystyle GL_{2}(k),SL_{2}(k)} и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы P G L 2 ( k ) , P S L 2 ( k ) {displaystyle PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)} , для которых это действие является точным. Для конечного поля P S L 2 ( k ) {displaystyle PSL_{2}(k)} изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы.
В алгебраической геометрии
Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой P 1 ( K ) {displaystyle P^{1}(K)} является поле K ( X ) {displaystyle K(X)} рациональных функций. Группой автоморфизмов поля K ( X ) {displaystyle K(X)} является группа P G L 2 ( K ) {displaystyle PGL_{2}(K)} . Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.