ГлавнаяАсимптотически нормальная оценка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному распределению при увеличении размера выборки.
Определение
Пусть X 1 , … , X n , … {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n},ldots } — выборка из распределения P θ {displaystyle mathbb {P} _{ heta }} , зависящего от параметра θ ∈ Θ {displaystyle heta in Theta } .
Точечная оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} называется асимптотически нормальной с дисперсией σ 2 ( θ ) {displaystyle sigma ^{2}( heta )} , если
n ( θ ^ − θ ) → Z {displaystyle {sqrt {n}}left({hat { heta }}- heta ight) o Z} по распределению при n → ∞ {displaystyle n o infty } ,где Z ∼ N ( 0 , σ 2 ( θ ) ) {displaystyle Zsim mathrm {N} left(0,sigma ^{2}( heta ) ight)} - нормальная случайная величина.
Замечание
Эквивалентно, оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} асимптотически нормальна, если
n ( θ ^ − θ ) σ ( θ ) → Z ~ {displaystyle {frac {{sqrt {n}}left({hat { heta }}- heta ight)}{sigma ( heta )}} o { ilde {Z}}} по распределению при n → ∞ {displaystyle n o infty } ,где Z ~ ∼ N ( 0 , 1 ) {displaystyle { ilde {Z}}sim mathrm {N} (0,1)} .
Свойства
- Асимптотически нормальная оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} состоятельна.
- При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.
Примеры
- Пусть X 1 , … , X n , … ∼ U [ 0 , θ ] {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n},ldots sim mathrm {U} [0, heta ]} - выборка из непрерывного равномерного распределения, где θ > 0 {displaystyle heta >0} . Пусть
где X ¯ {displaystyle {ar {X}}} - выборочное среднее, а
θ ^ 2 = X ( n ) {displaystyle {hat { heta }}_{2}=X_{(n)}} ,где X ( n ) = max ( X 1 , … , X n ) {displaystyle X_{(n)}=max(X_{1},ldots ,X_{n})} . Тогда оценка θ ^ 1 {displaystyle {hat { heta }}_{1}} является асимптотически нормальной с дисперсией σ 2 ( θ ) = θ 2 / 3 {displaystyle sigma ^{2}( heta )= heta ^{2}/3} , а оценка θ ^ 2 {displaystyle {hat { heta }}_{2}} не является асимптотически нормальной.