Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




12.04.2021


10.04.2021


09.04.2021


08.04.2021


08.04.2021





Яндекс.Метрика

Асимптотически нормальная оценка

08.03.2021

Асимптотически нормальная оценка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному распределению при увеличении размера выборки.

Определение

Пусть X 1 , … , X n , … {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n},ldots } — выборка из распределения P θ {displaystyle mathbb {P} _{ heta }} , зависящего от параметра θ ∈ Θ {displaystyle heta in Theta } .

Точечная оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} называется асимптотически нормальной с дисперсией σ   2 ( θ ) {displaystyle sigma ^{2}( heta )} , если

n ( θ ^ − θ ) → Z {displaystyle {sqrt {n}}left({hat { heta }}- heta ight) o Z} по распределению при n → ∞ {displaystyle n o infty } ,

где Z ∼ N ( 0 , σ 2 ( θ ) ) {displaystyle Zsim mathrm {N} left(0,sigma ^{2}( heta ) ight)} - нормальная случайная величина.

Замечание

Эквивалентно, оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} асимптотически нормальна, если

n ( θ ^ − θ ) σ ( θ ) → Z ~ {displaystyle {frac {{sqrt {n}}left({hat { heta }}- heta ight)}{sigma ( heta )}} o { ilde {Z}}} по распределению при n → ∞ {displaystyle n o infty } ,

где Z ~ ∼ N ( 0 , 1 ) {displaystyle { ilde {Z}}sim mathrm {N} (0,1)} .

Свойства

  • Асимптотически нормальная оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} состоятельна.
  • При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.

Примеры

  • Пусть X 1 , … , X n , … ∼ U [ 0 , θ ] {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n},ldots sim mathrm {U} [0, heta ]} - выборка из непрерывного равномерного распределения, где θ > 0 {displaystyle heta >0} . Пусть
θ ^ 1 = 2 X ¯ {displaystyle {hat { heta }}_{1}=2{ar {X}}} ,

где X ¯ {displaystyle {ar {X}}} - выборочное среднее, а

θ ^ 2 = X ( n ) {displaystyle {hat { heta }}_{2}=X_{(n)}} ,

где X ( n ) = max ( X 1 , … , X n ) {displaystyle X_{(n)}=max(X_{1},ldots ,X_{n})} . Тогда оценка θ ^ 1 {displaystyle {hat { heta }}_{1}} является асимптотически нормальной с дисперсией σ 2 ( θ ) = θ 2 / 3 {displaystyle sigma ^{2}( heta )= heta ^{2}/3} , а оценка θ ^ 2 {displaystyle {hat { heta }}_{2}} не является асимптотически нормальной.