Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




14.09.2021


13.09.2021


12.09.2021


11.09.2021


10.09.2021





Яндекс.Метрика

Совершенная группа

07.03.2021

Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Совершенная группа ― группа G {displaystyle G} , такая что отображение G → A u t ( G ) {displaystyle G o Aut(G)} является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент g ∈ G {displaystyle gin G} в автоморфизм сопряжения s g : h → g h g − 1 {displaystyle s_{g}:h o ghg^{-1}} . Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Примерами являются симметрические группы S n {displaystyle S_{n}} при n ≠ 2 , 6 {displaystyle n eq 2,6} (теорема Гёльдера); при этом группа S 2 = Z 2 {displaystyle S_{2}=mathbb {Z} _{2}} имеет нетривиальный центр, а у группы S 6 {displaystyle S_{6}} существует внешний автоморфизм.

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой G = A u t ( G ) {displaystyle G=Aut(G)} , но которая не является совершенной, является группа диэдра D 4 {displaystyle D_{4}} .