ГлавнаяДвойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.
Формальное определение
Язык теории категорий определяется как язык первого порядка с двумя видами символов — объектами и морфизмами, со свойством объекта быть образом или прообразом морфизма, а также с символом для композиции морфизмов.
Пусть σ — любое слово языка. Двойственное ему слово σop образуется следующими правилами:
- поменять местами все «образы» на «прообразы» в σ,
- обратить порядок композиции морфизмов, то есть все вхождения g ∘ f {displaystyle gcirc f} заменить на f ∘ g {displaystyle fcirc g} .
Иными словами, необходимо обратить все стрелки и переставить аргументы всех композиций.
Двойственность — это наблюдение, что σ выполняется в некоторой категории C тогда и только тогда, когда σop выполнено в Cop.
Примеры
- Морфизм f : A → B {displaystyle fcolon A o B} — мономорфизм, когда из f ∘ g = f ∘ h {displaystyle fcirc g=fcirc h} следует g = h {displaystyle g=h} . Применив операцию двойственности, получаем утверждение о том, что из g ∘ f = h ∘ f {displaystyle gcirc f=hcirc f} следует g = h {displaystyle g=h} . Для морфизма f : B → A {displaystyle fcolon B o A} , это значит в точности то, что f — эпиморфизм. Таким образом, свойство «быть мономорфизмом» двойственно свойству «быть эпиморфизмом».
- Предел и копредел — двойственные понятия.
- Начальный объект и терминальный объект — двойственные понятия.