Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




23.06.2021


20.06.2021


19.06.2021


18.06.2021


17.06.2021





Яндекс.Метрика

Треугольная квантовая яма

06.03.2021

Треугольная потенциальная яма — это один из наиболее простых потенциалов в квантовой механике допускающих точное решение задачи о движении заряда в электрическом поле. Основная её особенность состоит в том, что она возникает вследствие тривиального обрезания бесконечного 3D-пространства 2D-плоскостью.

Рассмотрим потенциальную энергию U ( x ) {displaystyle U(x)} , представляемую в виде:

U ( x ) = { e E x , x ≥ 0 + ∞ , x < 0 {displaystyle U(x)={egin{cases}eEx,&xgeq ;0+infty ,&x<0end{cases}}}

где x {displaystyle x} - координата 3D-пространства, вдоль которой проводится его обрезание плоскостью при x = 0 {displaystyle x=0} , e {displaystyle e} - заряд электрона, E {displaystyle E} - напряжённость электрического поля, определяющая потенциальную энергию.

Уравнения Шрёдингера в данном одномерном случае можно записать в виде:

d 2 ψ d x 2 + 2 m ℏ 2 ( W − e E x ) ψ = 0. {displaystyle {frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}+{frac {2m}{hbar ;^{2}}}(W-eEx)psi =0.}

Для упрощения дальнейшего рассмотрения введём безразмерную переменную в виде:

ξ = ( − x + W e E ) ( 2 m e E ℏ 2 ) 1 / 3 . {displaystyle xi =left(-x+{frac {W}{eE}} ight)left({frac {2meE}{hbar ;^{2}}} ight)^{1/3}.}

В результате, получим уравнение Шрёдингера, которое зависит от параметра энергии:

ψ ″ ( ξ ) + ξ ψ ( ξ ) = 0. {displaystyle psi '(xi )+xi psi (xi )=0.}

Решение данного уравнение есть

ψ ( ξ ) = A Φ ( − ξ ) , {displaystyle psi (xi )=APhi (-xi ),}

где функции Эйри определённые следующим образом:

Φ ( ξ ) = 1 π ∫ 0 + ∞ cos ⁡ ( u 3 3 + u ξ ) d u {displaystyle Phi (xi )={frac {1}{sqrt {pi }}}int limits _{0}^{+infty }cos left({{frac {u^{3}}{3}}+uxi } ight),du}

При движении в неограниченном пространстве уже есть определённая постоянная интегрирования A {displaystyle A} :

A = ( 2 m ) 1 / 3 π 1 / 2 ( e E ) 1 / 6 ℏ 2 / 3 {displaystyle A={frac {(2m)^{1/3}}{pi ^{1/2}(eE)^{1/6}hbar ;^{2/3}}}} .

Основное отличие данной задачи состоит в том, что при x = 0 {displaystyle x=0} потенциальная энергия стремительно растёт, и мы должны для сшивания волновых функций использовать условие:

ψ ( ξ j ) = 0 , {displaystyle psi (xi _{j})=0,}

где ξ j {displaystyle xi _{j}} — корни функции Эйри. Можно привести первые 5 значений этих корней: ξ 1 = 2 , 33810741 {displaystyle xi _{1}=2,33810741} , ξ 2 = 4 , 08794944 {displaystyle xi _{2}=4,08794944} , ξ 3 = 5 , 52055983 {displaystyle xi _{3}=5,52055983} , ξ 4 = 6 , 78670809 {displaystyle xi _{4}=6,78670809} , ξ 5 = 7 , 94413359 {displaystyle xi _{5}=7,94413359} .

В результате, мы получили дискретный спектр энергий для треугольной потенциальной ямы в виде:

W j = ξ j [ e E ℏ 2 m ] 2 / 3 {displaystyle W_{j}=xi _{j}{ig [}{frac {eEhbar ;}{sqrt {2m}}}{ig ]}^{2/3}}

Поскольку между потенциальной энергией и дискретным спектром справедливо следующее соотношение в узловых точках:

U ( x j ) = e E x j = W j {displaystyle U(x_{j})=eEx_{j}=W_{j}}

поэтому можно обнаружить значение координаты x j {displaystyle x_{j}} :

x j = ξ j ( ℏ 2 2 m e E ) 1 / 3 {displaystyle x_{j}=xi _{j}{ig (}{frac {hbar ;^{2}}{2meE}}{ig )}^{1/3}}

Широкое распространение данная задача приобрела при исследованиях 2D-систем электронного газа инверсных слоёв поверхности раздела диэлектрик — полупроводник.