ГлавнаяНелинейная сигма-модель (англ. nonlinear sigma model) — скалярная теория поля, в которой многокомпактное скалярное поле есть отображение пространства-времени на риманово многообразие. Впервые понятие сигма-модели введено в 1960 году. Нелинейная сигма-модель была введена в 1969 году.
Определение
Обычно нелинейная сигма-модель с метрикой g a b ( ϕ ) {displaystyle g_{ab}(phi )} задается следующим действием
S [ ϕ ] = 1 2 ∫ Σ g a b ( ϕ ) ∂ μ ϕ a ∂ μ ϕ b d D x , {displaystyle S[phi ]={frac {1}{2}}int _{Sigma }g_{ab}(phi )partial ^{mu }phi ^{a}partial _{mu }phi ^{b}~d^{D}x,}
где ϕ a ( x μ ) {displaystyle phi ^{a}(x^{mu })} — компоненты поля ϕ {displaystyle phi } , ∂ μ = μ μ ν ∂ ν {displaystyle partial ^{mu }=mu ^{mu u }partial _{ u }} , ∂ ν = ∂ / ∂ x μ {displaystyle partial _{ u }=partial /partial x^{mu }} , μ μ ν {displaystyle mu ^{mu u }} — метрика Минковского. Интегрирование осуществляется по D {displaystyle D} -мерному пространству Σ {displaystyle Sigma } , x μ {displaystyle x^{mu }} , μ = 1 , 2 , . . . , D {displaystyle mu =1,2,...,D} — координаты этого пространства. Матрица как правило положительно определённая и зависит от компонент поля.