Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




24.06.2021


23.06.2021


20.06.2021


19.06.2021


18.06.2021





Яндекс.Метрика

Хаусдорфово пространство

05.03.2021

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2. Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью. Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение

Топологическое пространство X {displaystyle X} называется хаусдорфовым, если любые две различных точки x {displaystyle x} , y {displaystyle y} из X {displaystyle X} обладают непересекающимися окрестностями U ( x ) {displaystyle U(x)} , V ( y ) {displaystyle V(y)} .

Примеры и контрпримеры

Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как L p   {displaystyle L^{p} } или W 1 , p {displaystyle W^{1,;p}} , p ⩾ 1   {displaystyle pgeqslant 1 } .

Если топологическая группа является T0-пространством, то она хаусдорфова. Если T0 не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.

Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.

Свойства

  • Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
  • Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали Δ = { ( x , x ) | x ∈ X } {displaystyle Delta ={(x,;x);|;xin X}} в декартовом квадрате X × X {displaystyle X imes X} пространства X {displaystyle X} .
  • В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
  • Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
  • Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
  • Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.