ГлавнаяКатегория топологических пространств — категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения, основной объект изучения категорной топологии. Стандартное обозначение — T o p {displaystyle mathbf {Top} } . Является конкретной категорией, поэтому её объекты можно понимать как множества с дополнительной структурой.
Естественный забывающий функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель: U : T o p → S e t {displaystyle Ucolon mathbf {Top} o mathbf {Set} } . Этот функтор имеет как левый сопряжённый D : S e t → T o p {displaystyle Dcolon mathbf {Set} o mathbf {Top} } , снабжающий множество дискретной топологией, так и правый сопряжённый I : S e t → T o p {displaystyle Icolon mathbf {Set} o mathbf {Top} } , снабжающий множество антидискретной топологией. Более того, поскольку любая функция между дискретными или антидискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора задают полное вложение категории множеств в T o p {displaystyle mathbf {Top} } .
Является полной и кополной, то есть в ней существуют все малые пределы и копределы. Забывающий функтор: U : T o p → S e t {displaystyle Ucolon mathbf {Top} o mathbf {Set} } единственным образом поднимает пределы, а также сохраняет их. Поэтому для получения пределов (копределов) в T o p {displaystyle mathbf {Top} } достаточно снабдить нужной топологией пределы (копределы) в S e t {displaystyle mathbf {Set} } : если F {displaystyle F} — диаграмма в T o p {displaystyle mathbf {Top} } и ( L , φ ) {displaystyle (L,varphi )} — предел диаграммы U F {displaystyle UF} в S e t {displaystyle mathbf {Set} } , то соответствующий предел (копредел) F {displaystyle F} в T o p {displaystyle mathbf {Top} } можно получить, снабдив ( L , φ ) {displaystyle (L,varphi )} начальной топологией (конечной топологией).
Мономорфизмы в T o p {displaystyle mathbf {Top} } — это непрерывные инъективные отображения; эпиморфизмы — непрерывные сюръективные отображения, а изоморфизмы — гомеоморфизмы. В T o p {displaystyle mathbf {Top} } нет нулевых морфизмов, в частности эта категория не предаддитивна.
Не является декартово замкнутой, потому что не для всех её объектов существуют экспоненциалы.