Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




24.06.2021


23.06.2021


20.06.2021


19.06.2021


18.06.2021





Яндекс.Метрика

Разложение на ручки

04.03.2021

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

∅ = M − 1 ⊂ M 0 ⊂ M 1 ⊂ M 2 ⊂ ⋯ ⊂ M m − 1 ⊂ M m = M {displaystyle emptyset =M_{-1}subset M_{0}subset M_{1}subset M_{2}subset dots subset M_{m-1}subset M_{m}=M}

где каждое M i {displaystyle M_{i}} получается из M i − 1 {displaystyle M_{i-1}} путём присоединения i {displaystyle i} -ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.

Предпосылки

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру S n {displaystyle S^{n}} с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения χ : D n → S n {displaystyle chi :D^{n} o S^{n}} в окрестности S n − 1 {displaystyle S^{n-1}} .

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность N p {displaystyle N_{p}} диффеоморфна D m {displaystyle D^{m}} . Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение N p {displaystyle N_{p}} и M ∖ int ⁡ ( N p ) {displaystyle Msetminus operatorname {int} (N_{p})} , склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в M ∖ int ⁡ ( N p ) {displaystyle Msetminus operatorname {int} (N_{p})} , её трубчатая окрестность диффеоморфна I × D m − 1 {displaystyle I imes D^{m-1}} . Это позволяет записать M {displaystyle M} как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

  • D m {displaystyle D^{m}}
  • I × D m − 1 {displaystyle I imes D^{m-1}}
  • дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в M ∖ int ⁡ ( N p ) {displaystyle Msetminus operatorname {int} (N_{p})} .
  • Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем I × D m − 1 {displaystyle I imes D^{m-1}} с D m {displaystyle D^{m}} , отношение эквивалентности образуется путём вложения ( ∂ I ) × D m − 1 {displaystyle (partial I) imes D^{m-1}} в ∂ D m {displaystyle partial D^{m}} , которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.

    Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение f : S j − 1 × D m − j {displaystyle f:S^{j-1} imes D^{m-j}} в ∂ M {displaystyle partial M} . Пусть H j = D j × D m − j {displaystyle H^{j}=D^{j} imes D^{m-j}} . Многообразие M ∪ f H j {displaystyle Mcup _{f}H^{j}} (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению M {displaystyle M} и H j {displaystyle H^{j}} с отождествлением S j − 1 × D m − j {displaystyle S^{j-1} imes D^{m-j}} с его образом в ∂ M {displaystyle partial M} , то есть:

    M ∪ f H j = ( M ⊔ ( D j × D m − j ) ) / ∼ {displaystyle Mcup _{f}H^{j}=left(Msqcup (D^{j} imes D^{m-j}) ight)/sim }

    где отношение эквивалентности ∼ {displaystyle sim } задаётся как ( p , x ) ∼ f ( p , x ) {displaystyle (p,x)sim f(p,x)} для всех ( p , x ) ∈ S j − 1 × D m − j ⊂ D j × D m − j {displaystyle (p,x)in S^{j-1} imes D^{m-j}subset D^{j} imes D^{m-j}} .

    Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия M {displaystyle M} определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось M {displaystyle M} . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.

    Терминология

    Возьмём объединение M с j-ручкой H j {displaystyle H^{j}} :

    M ∪ f H j = ( M ⊔ ( D j × D m − j ) ) / ∼ {displaystyle Mcup _{f}H^{j}=left(Msqcup (D^{j} imes D^{m-j}) ight)/sim }

    f ( S j − 1 × { 0 } ) ⊂ M {displaystyle f(S^{j-1} imes {0})subset M} называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой).

    f {displaystyle f} иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.

    { 0 } j × S m − j − 1 ⊂ D j × D m − j = H j {displaystyle {0}^{j} imes S^{m-j-1}subset D^{j} imes D^{m-j}=H^{j}} является опоясывающей сферой ручки H j {displaystyle H^{j}} в M ∪ f H j {displaystyle Mcup _{f}H^{j}} .

    Многообразие, полученное присоединением g {displaystyle g} копий k {displaystyle k} -ручек к диску D m {displaystyle D^{m}} , является (m, k)-телом с ручками рода g .

    Представления кобордизмов

    Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где ∂ W = M 0 ∪ M 1 {displaystyle partial W=M_{0}cup M_{1}} и фильтрации

    W − 1 ⊂ W 0 ⊂ W 1 ⊂ ⋯ ⊂ W m + 1 = W {displaystyle W_{-1}subset W_{0}subset W_{1}subset cdots subset W_{m+1}=W}

    где M 0 {displaystyle M_{0}} и M 1 {displaystyle M_{1}} являются m {displaystyle m} -мерными многообразиями, W {displaystyle W} — m + 1 {displaystyle m+1} -мерным, W − 1 {displaystyle W_{-1}} диффеоморфно M 0 × [ 0 , 1 ] {displaystyle M_{0} imes [0,1]} , а W i {displaystyle W_{i}} получается из W i − 1 {displaystyle W_{i-1}} путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

    С точки зрения теории Морса

    Если задана функция Морса f : M → R {displaystyle f:M o mathbb {R} } на компактном многообразии M без края, таком что критические точки { p 1 , … , p k } ⊂ M {displaystyle {p_{1},ldots ,p_{k}}subset M} функции f {displaystyle f} удовлетворяют f ( p 1 ) < f ( p 2 ) < ⋯ < f ( p k ) {displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<cdots <f(p_{k})} и выполняется

    t 0 < f ( p 1 ) < t 1 < f ( p 2 ) < ⋯ < t k − 1 < f ( p k ) < t k {displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}} ,

    тогда для всех j f − 1 [ t j − 1 , t j ] {displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]} диффеоморфно ( f − 1 ( t j − 1 ) × [ 0 , 1 ] ) ∪ H I ( j ) {displaystyle (f^{-1}(t_{j-1}) imes [0,1])cup H^{I(j)}} , где I ( j ) {displaystyle I(j)} — индекс критической точки p j {displaystyle p_{j}} . Индекс I ( j ) {displaystyle I(j)} соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства T p j M {displaystyle T_{p_{j}}M} , где гессиан отрицательно определён.

    Если индексы удовлетворяют неравенству I ( 1 ) ⩽ I ( 2 ) ⩽ ⋯ ⩽ I ( k ) {displaystyle I(1)leqslant I(2)leqslant cdots leqslant I(k)} , то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм W {displaystyle W} с ∂ W = M 0 ∪ M 1 {displaystyle partial W=M_{0}cup M_{1}} и функция f : W → R {displaystyle f:W o mathbb {R} } , которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.

    Если f {displaystyle f} — функция Морса M {displaystyle M} , − f {displaystyle -f} также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.

    Некоторые главные теоремы и наблюдения

    • Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова T 1 {displaystyle T^{1}} , а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
    • Если присоединить две ручки в последовательности ( M ∪ f H i ) ∪ g H j {displaystyle (Mcup _{f}H^{i})cup _{g}H^{j}} , можно изменить порядок присоединения, обеспечивая j ⩽ i {displaystyle jleqslant i} , то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида ( M ∪ H j ) ∪ H i {displaystyle (Mcup H^{j})cup H^{i}} для подходящих отображений присоединения.
    • Граница M ∪ f H j {displaystyle Mcup _{f}H^{j}} диффеоморфна ∂ M {displaystyle partial M} , разрезанному вдоль оснащённой сферы f {displaystyle f} . Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
    • Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из S m {displaystyle S^{m}} хирургией на наборе оснащённых зацеплений в S m {displaystyle S^{m}} . Например, известно, что любое 3-многообразие является границой 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
    • Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.