Главная
Теорема о четырёх красках — теорема, которая утверждает, что всякую расположенную на плоскости или на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы были раскрашены в разные цвета. При этом области должны быть односвязными, а под общим участком границы понимается часть линии, то есть стыки нескольких областей в одной точке не считаются общей границей для них.
В 1852 году Фрэнсис Гутри, составляя карту графств Англии, обратил внимание, что для такой цели хватает четырёх красок, Его брат, Фредерик, сообщил об этом наблюдении известному математику Огастесу де Моргану, а тот — математической общественности. Точную формулировку гипотезы опубликовал Артур Кэли (1878). Доказать теорему долгое время не удавалось. В течение этого времени было предпринято множество попыток как доказательства, так и опровержения, и эта задача носила название проблемы четырёх красок.
Для простых карт достаточно и трёх цветов, а четвёртый цвет начинает требоваться, например, тогда, когда имеется одна область, окружённая нечётным числом других, которые соприкасаются друг с другом, образуя цикл. Теорема о пяти красках, утверждающая, что достаточно пяти цветов, имела короткое несложное доказательство и была доказана в конце XIX века, но доказательство теоремы для случая четырёх цветов столкнулось со значительными трудностями.
Теорема о четырёх красках была доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном из Иллинойского университета. Это была первая крупная математическая теорема, доказанная с помощью компьютера. Первым шагом доказательства была демонстрация того, что существует определённый набор из 1936 карт, ни одна из которых не может содержать карту меньшего размера, которая опровергала бы теорему. Авторы использовали специальную компьютерную программу, чтобы доказать это свойство для каждой из 1936 карт. Доказательство этого факта заняло сотни страниц. После этого Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует наименьшего контрпримера к теореме, потому что иначе он должен бы содержать какую-нибудь из этих 1936 карт, чего нет. Это противоречие говорит о том, что контрпримера нет вообще.
Изначально доказательство было принято не всеми математиками, поскольку его невозможно проверить вручную. В дальнейшем оно получило более широкое признание, хотя у некоторых долгое время оставались сомнения. Чтобы развеять оставшиеся сомнения, в 1997 году Робертсон, Сандерс, Сеймур и Томас опубликовали более простое доказательство, использующее аналогичные идеи, но по-прежнему проделанное с помощью компьютера. Кроме того, в 2005 году доказательство было проделано Джорджсом Гонтиром с использованием специализированного программного обеспечения (Coq v7.3.1).
Эквивалентные формулировки
В теории графов утверждение теоремы четырёх красок имеет следующие формулировки:
- Хроматическое число планарного графа не превосходит 4.
- Рёбра произвольной триангуляции сферы можно раскрасить в три краски так, что все стороны каждого треугольника были раскрашены в разные цвета.
- Известно ещё множество эквивалентных формулировок.
Исторические попытки доказательства
Наиболее известные попытки доказательства:
- Альфред Кэмпе предложил доказательство в 1879 году, его опровергли в 1890 году, но на основе его идей удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в 5 цветов.
- Питер Тэт предложил другое доказательство в 1880 году, его опровергли в 1891 году.
- Малиев М. Задача о четырех красках, 1914
Вариации и обобщения
Другие поверхности
Аналогичные задачи для других поверхностей (тор, бутылка Клейна и т. д.) оказались значительно проще. Для всех замкнутых поверхностей, кроме сферы (и ей эквивалентных плоскости и цилиндра) и бутылки Клейна, необходимое число красок может быть вычислено по её роду g {displaystyle g} по следующей формуле, предложенной в 1890 году Перси Джоном Хивудом.
p = ⌊ 7 + 1 + 48 g 2 ⌋ . {displaystyle p=leftlfloor {frac {7+{sqrt {1+48g}}}{2}} ight floor .}Верхняя оценка получается довольно просто, она была доказана самим Хивудом. (Для сферы формула даёт правильный ответ — 4, однако доказательство Хивуда для неё не применимо.) Нижняя доказывается вложением полного графа K p {displaystyle K_{p}} в соответствующую поверхность; доказательство строилось в 1952—1968 года группой математиков; последний шаг был сделан Герхардом Рингелем и Джоном Янгсом.
Для ленты Мёбиуса (также как и для проективной плоскости) требуется 6 цветов. Для односторонних поверхностей рода g ≠ 2 {displaystyle g eq 2}
p = ⌊ 7 + 1 + 24 g 2 ⌋ , {displaystyle p=leftlfloor {frac {7+{sqrt {1+24g}}}{2}} ight floor ,}Для бутылки Клейна (род g = 2 {displaystyle g=2} ) число равно 6 (а не 7, как по формуле) — это показал П. Франклин в 1934 году.
Карта острова
Из теоремы о четырёх красках следует, что карту острова, в которой каждая страна имеет выход к морю может быть раскрашена в 3 краски. У этого утверждения однако существует также элементарное доказательство.
Задача об империях
Аналогичный вопрос для карт с империями, то есть со странами имеющими m {displaystyle m} -компонент связности рассматривался Перси Джоном Хивудом. При m ≥ 2 {displaystyle mgeq 2} , ответ p = 6 ⋅ m {displaystyle p=6cdot m} . Верхняя оценка получается довольно просто, она была доказана самим Хивудом. Нижняя доказывается вложением полного графа K p {displaystyle K_{p}} в соответствующую поверхность; доказательство дано Герхардом Рингелем и Брэдом Джексоном.
Вариант задачи про империи с колониями на других планетах остаётся открытым. Например, если у каждой страны на Земле есть колония на Луне то известны только оценки 9 ≤ p ≤ 12 {displaystyle 9leq pleq 12} .
Старшие размерности
В старших размерностях разумного обобщения задачи не существует, так как легко придумать уже трёхмерную карту с произвольным числом областей, которые все друг друга касаются.
Игра «четыре краски»
Стивен Барр предложил логическую игру на бумаге для двух игроков, названную «Четыре краски». По словам Мартина Гарднера — «Я не знаю лучшего способа понять трудности, которые встречаются на пути решения проблемы четырёх красок, чем просто поиграть в эту любопытную игру».
Для этой игры нужны четыре цветных карандаша. Первый игрок начинает игру, рисуя произвольную пустую область. Второй игрок закрашивает её любым из четырёх цветов и в свою очередь рисует свою пустую область. Первый игрок закрашивает область второго игрока и добавляет новую область, и так далее — каждый игрок раскрашивает область соперника и добавляет свою. При этом области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Проигрывает тот, кто на своём ходу вынужден будет взять пятую краску.
Стоит отметить, что в этой игре проигрыш одного из игроков вовсе не является доказательством неверности теоремы (четырёх красок оказалось недостаточно!). А лишь иллюстрацией того, что условия игры и теоремы весьма разнятся. Чтобы проверить верность теоремы для полученной в игре карты, нужно проверить связность нарисованных областей и, удалив с неё цвета, выяснить, можно ли обойтись лишь четырьмя цветами для закрашивания получившейся карты (теорема утверждает, что можно).
Существуют также следующие вариации игры:
В культуре
- «Остров пяти красок» — фантастический рассказ Мартина Гарднера.